18 февраля 2021

Группа 108

Предмет :"Математика"

Тема занятия :"Площадь поверхности и объем цилиндра "

                         "Площадь поверхности и объем конуса"

 

1. Площадь поверхности и объём призмы

Проще всего вычисляется площадь поверхности призмы и особенно ее подвидов: прямой призмы, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, – боковыми ребрами призмы.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Грани боковой поверхности призмы – параллелограммы. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.

Полная поверхность призмы равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания прямоугольников – стороны многоугольника в основании призмы – , высоты всех прямоугольников одинаковы и равны длине бокового ребра – . Боковая поверхность призмы . Теорема доказана.

Пример

В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен , а длины боковых ребер равны .

Решение

Проведенное сечение разбивает призму на две части. Поменяем местами верхнюю и нижнюю части, совместив основания. Получим новую призму, основаниями которой будут многоугольники, равные сечению. Боковые ребра новой призмы по-прежнему равны l, боковая поверхность такая же, как у исходной призмы.

Таким образом, боковые поверхности и новой, и исходной призмы .

Решенную задачу можно считать доказательством теоремы о боковой поверхности наклонной призмы. Она формулируется почти так же, как теорема 1, только вместо периметра основания нужно использовать периметр ортогонального сечения призмы. Назовем ее теоремой 1а.

Объем тела – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей. (простое тело – тело, которое можно разбить на конечное число треугольных пирамид).
3. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Теорема 2. Объем прямоугольного параллелепипеда (частного типа призмы) с линейными размерами , ,  вычисляется по формуле .

Терема 2а. Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Теорема 2b. Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Доказательства этих теорем в Дополнении 1.

Пример

В прямом параллелепипеде стороны основания  и  образуют угол 30°. Боковая поверхность равна . Найдите его объем.

На чертеже  – прямой параллелепипед.  – его основание (параллелограмм с острым углом 30°).

Рассуждение

Боковая поверхность прямого параллелепипеда (призмы) равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда. Поскольку боковая поверхность задана, из этого условия можно найти высоту.

Площадь основания вычисляется как площадь параллелограмма с известными сторонами и углом.

По высоте и площади основания найдем объем призмы.

Решение

1. Площадь основания .

2. Площадь боковой поверхности .

3. Откуда .

4. Объем параллелепипеда .

Пример

Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые по  каждый. Найдите объем параллелепипеда.

Чертеж. Все грани параллелепипеда – одинаковые ромбы с острыми углами, равными . Из точки опущен перпендикуляр  к плоскости основания и перпендикуляры к сторонам основания  и .

Рассуждение

Чтобы найти объем параллелепипеда, надо знать площадь его основания и высоту. Площадь основания найти легко, т.к. это ромб .

Найти высоту  значительно труднее. В этом и состоит задача.

Решение

Высота  может быть найдена, по теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника , если бы мы знали отрезок .

1. По теореме о трех перпендикулярах  и .

2. Треугольники  и  равны (по гипотенузе  и острому углу ). Следовательно, .

3. Треугольники  и  равны (по гипотенузе и катету).

4. Следовательно, .

5. Из треугольника  имеем .

Теперь, по теореме Пифагора, определяется высота параллелепипеда.

6. 

.

Замечание. В п. 6 были использованы тригонометрические равенства и. Обе формулы не обязательно помнить – их нетрудно вывести. Например, вторую можно вывести, зная, как раскладывается косинус суммы и разности двух углов:.

А применили мы ее вот так:, где . Решение этой системы уравнений:, , откуда получается

.

7. Теперь мы можем найти объем параллелепипеда .

 

Ветка. Доказательство теорем

Теорема 2. Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами , ,  вычисляется по формуле .

Доказательство

Докажем сначала, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.

Пусть  и  – два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием  и высотами  и  (). Пусть  и  – объемы параллелепипедов.

 

Разобьем ребро  параллелепипеда  на  равных частей ( – большое число). Каждая часть равна  . Пусть  – число точек деления, которые лежат на ребре . Тогда  . Отсюда  (*).

Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед  на  равных параллелепипедов с объемом . Параллелепипед  содержит первые  параллелепипедов, считая снизу, и содержится в  параллелепипедах. Поэтому , отсюда   (**).

Из неравенств (*) и (**) видно, оба числа  и  заключены между  и , поэтому они отличаются не более чем на  . А так как  можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при , что и требовалось доказать.

 

Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями , , ; , , ; , , .

Обозначим их объемы ,  и  соответственно. По доказанному , , . Перемножая эти равенства почленно, получим . Теорема доказана.

 

Теорема 2a. Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство

Пусть  – наклонный параллелепипед с площадью основания , высотой  и объемом . Дополним параллелепипед  такими же  параллелепипедами, как показано на рисунке.

Получим параллелепипед , который имеет площадь основания , объем  и высоту .

Рассечем параллелепипед  на две части плоскостью , пересекающей все его ребра, параллельные , под прямым углом.

Это всегда можно сделать при достаточно большом . Передвинем одну из этих частей так, чтобы совпали точки  и . При этом получим новый параллелепипед , у которого такие же площадь основания , объем  и высота , а его грани, по которым производился разрез плоскостью, перпендикулярны основанию.

Разрежем параллелепипед  на  равных частей плоскостями, параллельными плоскости . Пусть одна из этих частей .

Это параллелепипед с той же площадью основания, объемом и высотой, как исходный параллелепипед .

Проделаем с параллелепипедом  такое же преобразование, каким из параллелепипеда  был получен параллелепипед . При этом получится прямоугольный параллелепипед  с тем же объемом, площадью основания и высотой, как у параллелепипеда .

А так как у прямоугольного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту, то и у параллелепипеда  объем равен произведению площади основания на высоту. Теорема доказана.

 

Теорема 2b. Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Рассмотрим треугольную призму . Дополним ее до параллелепипеда. Точка  является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки  и, следовательно, имеет такой же объем. Таким образом, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. Площадь основания параллелепипеда вдвое больше площади основания призмы, а высоты их равны. Следовательно, объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Рассмотрим теперь произвольную призму.

Разобьем ее основание на треугольники. Пусть  – один из таких треугольников. Проведем через произвольную точку  треугольника  прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть  – отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка  описывает треугольник , отрезки  заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника , получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы.

Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, т.е. . ( – площадь основания треугольной призмы ). Теорема доказана

 

Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и наклонной призм.
• Теоремы о вычислении объемов параллелепипедов.

Уметь

• Вычислять площадь основания параллелепипеда.
• Проводить необходимые построения и вычисления для нахождения высоты параллелепипеда.

Понимать

Различие в способах вычисления площадей поверхности и объемов прямых и наклонных призм.

2. Площадь поверхности и объём пирамиды

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

 

Теорема 3. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство очень простое. Если сторона основания a, число сторон n, то боковая поверхность  ( – апофема,  – полупериметр основания). Теорема доказана.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее подобную пирамиду. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Ее боковые грани – трапеции, их высоты тоже называются апофемами.

 

Пример

Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы оснований на апофему.

Решение

Боковые грани правильной усеченной пирамиды – трапеции с верхним основанием  и нижним  и высотой (апофемой) . Поэтому площадь одной боковой грани , площадь всех граней , где  и  – периметры оснований пирамиды.

Определим теперь, чему равен объем пирамиды. Пусть  – треугольная пирамида,  – вершина,  – основание.

Дополним эту пирамиду до призмы с тем же основанием и высотой. Эта призма составлена из трех пирамид: данной ,  и .

У второй и третьей пирамид равные основания ( и ) и общая высота, проведенная из вершины . Поэтому у них равные объемы.

У первой и третьей пирамид тоже равные основания ( и ) и совпадающие высоты, проведенные из вершины . Поэтому у них равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем, равный одной трети объема призмы . Мы доказали теорему 4.

 

Теорема 4. Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

Произвольную пирамиду можно разбить на несколько треугольных. Поэтому доказанная теорема легко обобщается на случай любой (не обязательно треугольной) пирамиды.

 

Теорема 4a. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

 

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с вершиной  медиана  треугольника  равна 3. Площадь всей боковой поверхности равна 36. Найдите длину отрезка .

Рассуждение

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему . Поскольку боковая поверхность известна, получаем условие на периметр основания, и, значит, на сторону равностороннего треугольника в основании.

Зная сторону основания, найдем отрезок , из прямоугольного треугольника , по теореме Пифагора, можно найти ребро .

Решение

1. 

2. 

3. 

4. 

Пример

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 20, сторона основания равна 10. Найдите объём пирамиды.

Рассуждение

Площадь основания – правильного шестиугольника – равна площади шести равносторонних треугольников со стороной 10.      Основание высоты правильной пирамиды – центр основания пирамиды , который находится в середине отрезка , длина .

Решение

1. Площадь правильного треугольника со стороной  равна  .

2. Площадь основания пирамиды 

3. Высота пирамиды .

4. Объем пирамиды .

Пример

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 8. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию и равно 12. Найдите объем пирамиды.

Рассуждение

В этой задаче не имеет значения, какое из трех боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию. Это ребро просто считаем высотой . Для вычисления площади основания – равнобедренного прямоугольного треугольника достаточно знать его гипотенузу.

Решение

1. Катеты основания равны .

2. Площадь основания .

3. Объем пирамиды .

Пример

 – правильная треугольная пирамида с вершиной ,  – середина ребра . Известно, что , а площадь боковой поверхности равна 81. Найдите длину отрезка .

Рассуждение

Площадь боковой поверхности и апофема известны, отсюда можно найти периметр треугольника в основании. Поскольку этот треугольник равносторонний, то мы найдем и сторону основания ().

Решение

1. .

2. .

3. .

 

Пример

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.

На чертеже  – ромб (), , ,  – высота пирамиды,  – точка пересечения диагоналей, , .

Рассуждение

Если бы пирамида была правильной, то ее боковую поверхность мы определили бы как половину произведения периметра основания на апофему. Наша пирамида не является правильной: в основании ромб, а не квадрат.

Придется вычислить боковую поверхность как сумму площадей боковых граней.  нашему счастью, площади боковых граней одинаковы.

Вычислим площадь одной такой треугольной грани : , следовательно, нам нужно знать  и  – высоту треугольника .

Решение

1. Диагонали ромба ортогональны и делятся в точке пересечения пополам. Поэтому , .

2. Из треугольника , по теореме Пифагора, .

3.  – высота прямоугольного треугольника  (по теореме о трех перпендикулярах), поэтому .

4. С другой стороны, .

5. Следовательно, .

6. Из прямоугольного треугольника , по теореме Пифагора, .

7. Площадь одной боковой грани .

8. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех таких граней, следовательно, .

Пример

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

На чертеже , , , .

Рассуждение

Площадь основания найти нетрудно – все, что для этого нужно, задано. Проблема в вычислении высоты .

Основание высоты – точка  – лежит на одинаковом расстоянии  (радиус описанной окружности) от вершин основания. Это следует из равенства боковых ребер: если ребра равны, то равны и их ортогональные проекции на плоскость основания.

Решение

1. Из прямоугольного треугольника  находим .

2. Площадь основания .

3. Из треугольника  имеем .

4. , т.к. .

5. .

6. .

7. Из треугольника  имеем .

8. Из треугольника  имеем .

9. Искомый объем пирамиды .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой пирамиды.
• Выражение для вычисления  объема произвольной пирамиды.

Уметь

• Находить апофему или периметр основания пирамиды при заданной боковой поверхности правильной пирамиды.
• Проводить необходимые построения и вычисления для нахождения высоты наклонной пирамиды.

Понимать

• Различие в способах вычисления объемов прямых и наклонных пирамид.

3. Площадь поверхности и объём цилиндра

Круговым цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие точки окружностей этих кругов, – образующими цилиндра.

Очевидные свойства цилиндра:

- основания цилиндра равны;

- основания лежат в параллельных плоскостях;

- образующие параллельны и равны.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Далее мы будем рассматривать только прямые цилиндры.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания, высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований, осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований.

Боковая поверхность (ее площадь) цилиндра высотой  и радиуса  равна произведению длины окружности оснований на высоту, т.е. .

Полная поверхность цилиндра включает еще площади двух оснований  , т.е. .

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.е. .

 

Пример

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Рассуждение

Объем жидкости при ее переливании из сосуда в сосуд не меняется.

Решение

1. Объем жидкости в первом сосуде .

2. Объем жидкости во втором сосуде .

3. .

4. .

5.  (см).

Пример

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

Решение

1. .

2. .

3.  (м3).

Пример

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 5. Объем параллелепипеда равен 50. Найдите высоту цилиндра.

Рассуждение

Основания параллелепипеда – квадраты. В произвольный прямоугольник нельзя вписать окружность.

Решение

1. Сторона квадрата равна диаметру цилиндра  .

2. Объем параллелепипеда  ( высота цилиндра и параллелепипеда).

3. .

Пример

В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

Рассуждение

Высоты цилиндров и призмы одинаковы, поэтому отношение объемов вписанного и описанного цилиндров зависит только от их радиусов.

Решение

1. В правильном треугольнике радиус описанной окружности .

2. Радиус вписанной окружности .

3. Так как , .

4. Объемы цилиндров относятся как квадраты радиусов, поэтому .

 

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления площади боковой и полной поверхностей прямого кругового цилиндра.
• Формулу для вычисления объема прямого кругового цилиндра.

Уметь

• Сравнивать площади поверхности и объемы цилиндров разной высоты и радиуса.

Понимать

• Когда можно и когда нельзя вписать призму в цилиндр или цилиндр в призму.

4. Площадь и объём поверхности конуса

Конусом называют тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямые конусы.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

В конус можно вписать пирамиду. Вписанной в конус называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания, вершиной является вершина конуса, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

Теорема 5. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

Теорема 6. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где  – длина окружности основания,  – радиус основания конуса, а  – длина образующей.

 

Ветка. Доказательство теорем

Теорема 5. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

Доказательство

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник , содержащий основание конуса, и многоугольник , содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями  и  и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая содержится в конусе.

Как мы знаем, существуют такие многоугольники  и  , площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон  неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к , где  – площадь основания конуса, а  – его высота. Отсюда следует, что, что объем конуса .

Теорема 6. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где  – длина окружности основания,  – радиус основания конуса, а  – длина образующей.

 

Доказательство

Впишем в конус правильную -угольную пирамиду. Площадь ее боковой поверхности , где  – периметр основания, а  – апофема.

При неограниченном увеличении  периметр  неограниченно приближается к длине  окружности основания, а апофема  – к длине образующей . Соответственно, боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к . Эта величина принимается за боковую поверхность конуса, т.е. , где  – радиус основания конуса, а  – длина образующей

Задача 15. Прямоугольный треугольник с катетами  и  вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела.

Рассуждение

Рассматриваемое тело состоит из двух конусов с одинаковым радиусом оснований  и разными высотами  и .

 – гипотенузе.

Решение

1. Из свойств прямоугольного треугольника: ,

.

2. , .

3. .

4. .

Задача

Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований равны  и  (), а высота .

Рассуждение

Из рисунка ясно, что представляет собой усеченный конус. Чтобы вычислить его объем, нужно из объема большого конуса с радиусом основания  и высотой  вычесть объем малого конуса радиусом основания  и высотой .

Радиусы оснований заданы, а высоты – нет. Известна только разность высот  – высота усеченной пирамиды, т.е. .

Осевое сечение большей пирамиды – равносторонний треугольник высотой  и основанием . Для малой пирамиды аналогично: осевое сечение будет треугольником с высотой  и основанием . Очевидно, что эти треугольники подобны.

Решение

1. Из подобия треугольников .

2. Второе уравнение для  и  – это .

3. Решаем эти два уравнения: .

4. Объем большого конуса .

5. Объем малого конуса .

6. Объем усеченного конуса .

Для самостоятельного решения предлагается следующая задача.

Задача

Найдите боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований  и и образующей .

 

Рассуждение

Поступим так же, как в предыдущей задаче, т.е. найдем боковую поверхность большого конуса с радиусом основания и образующей . Вычтем из полученной величины боковую поверхность малого конуса с радиусом основания  и образующей .

Решение

1. Из подобия треугольников .

2. .

3. Решаем эти два уравнения относительно  и :

4. Боковая поверхность большого конуса .

5. Боковая поверхность малого конуса .

6. Боковая поверхность усеченного конуса .

 

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления площади боковой и полной поверхностей прямого кругового конуса.
• Формулу для вычисления объема прямого кругового конуса.

Уметь

• Определять высоту или радиус основания при заданном объеме конуса.
• Определять образующую или радиус основания при заданной боковой поверхности конуса.

Понимать

• Как находится объем и боковая поверхность усеченного конуса.

5. Площадь и объём поверхности шара

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Граница шара называется сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу шара.

Теорема 7. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость, проходящая через точку  сферы и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку , называется касательной плоскостью. Точка  называется точкой касания.

Теорема 8. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Теорема 9. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Следующие теоремы (10–11) приведены без доказательств, ввиду их громоздкости. Если эти доказательства вам все-таки понадобятся, обратитесь к учебнику.

Теорема 10. Объем шара радиуса  вычисляется по формуле .

Теорема 11. Площадь сферы радиуса  вычисляется по формуле .

 

Ветка. Доказательство

Теорема 7. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство

Пусть  – секущая плоскость и  – центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость  и обозначим через  основание этого перпендикуляра.

Пусть  – произвольная точка шара, принадлежащая плоскости . По теореме Пифагора, . Так как  не больше радиуса  шара, то , т.е. любая точка сечения шара плоскостью  находится от точки  на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром  и радиусом .

Обратно: любая точка  этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью  есть круг с центром в точке . Теорема доказана.

Теорема 8. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Доказательство

Пусть  – плоскость, касательная к шару, и  – точка касания. Возьмем произвольную точку  плоскости , отличную от . Так как  – перпендикуляр, а  – наклонная, то .

Следовательно, точка  не принадлежит шару. Теорема доказана.

Теорема 9. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство

Пусть  и  – центры сфер и  – точка их пересечения. Проведем через точку  плоскость  перпендикулярную прямой .

Обозначим через  точку пересечения плоскости  с прямой  . По теореме 7 плоскость  пересекает обе сферы по окружности  с центром , проходящей через точку . Таким образом, окружность  принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности . Допустим, точка  пересечения сфер не лежит на окружности . Проведем плоскость через точку  и прямую .

Она пересечет сферы по окружностям с центрами в  и . Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности , да еще в точке . Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение двух сфер есть окружность ()

Пример

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 42. Найдите площадь поверхности шара.

Рассуждение

Шар касается оснований цилиндра, поэтому высота цилиндра  равна диаметру шара . Шар касается поверхности цилиндра, поэтому радиусы цилиндра и шара одинаковы.

Решение

1. Площадь поверхности цилиндра .

2. Площадь поверхности шара .

3. Следовательно, .

Пример

В шар вписан конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 3. Найдите объем шара.

Рассуждение

Поскольку радиус основания конуса равен радиусу шара, основание конуса – диаметральное сечение шара. Отсюда высота конуса  равна радиусу шара , следовательно, объем конуса зависит только от радиуса. Поэтому радиус основания можно найти из объема конуса.

Объем шара зависит только от его радиуса, который равен радиусу основания конуса.

Решение

1. Объем конуса .

2. Объем шара .

3. .

Пример

Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей шаров с радиусами 27 и 36.

Рассуждение

По заданным радиусам двух шаров  и  можно найти сумму поверхностей шаров .

По известной поверхности  можно найти радиус шара, имеющего такую поверхность.

Решение

1. Поверхность первого шара .

2. Поверхность второго шара 

3. Суммарная поверхность .

4. Радиус шара, имеющего поверхность , .

5. .

 

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления площади поверхности объема шара.
• Что радиус, проведенный в точку касания плоскости и шара, перпендикулярен касательной плоскости.

Уметь

• Определять радиус шара по заданному его объему или по площади поверхности.

Понимать

• Что пересечение сферы плоскостью или другой сферой – это окружности.

6. Заключение

На этом уроке мы рассмотрели площадь поверхности и объём различных геометрических тел. На следующем уроке мы попрактикуемся в решении различных стереометрических задач.

 

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Решение задач по теме "Призма" (Геометрия, 10 класс, раздел "Многогранник")
2. Решение задач по теме «Пирамида» (Геометрия, 10 класс, раздел "Многогранник")
3. Решение задач по теме "Многогранник" (Геометрия, 10 класс, раздел "Многогранник")
4. Решение задач. Цилиндр (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
5. Решение задач. Конус (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
6. Решение задач по теме «Сфера, шар» (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
7. Комбинация призмы и цилиндра (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
8. Комбинация пирамиды и конуса (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
9. Комбинация шара и цилиндра (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
10. Комбинация шара и конуса (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
11. Комбинация шара и призмы (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")
12. Комбинация шара и пирамиды (Геометрия, 11 класс, раздел "Тела вращения")