08 февраля 2021 года

Группа 108

Предмет :"Математика"

Тема  занятия :"Представление  о правильных многогранниках" 1. Правильные многогранники

Теория:

Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1. все его грани — равные правильные многоугольники;

2. в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

 

Возникают вопросы:

1. какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?

2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон 6 или больше, то есть правильные n-угольники, если n≥6.

1. У правильного n-угольника, если n≥6, углы не меньше 120°.

2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.

3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает 360°.

4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

 

Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные n-угольники, если n≥6.

Только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.

 

Существуют ли правильные многогранники с такими гранями, и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.

Теорема Эйлера и правильные многогранники

Теорема Эйлера

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:

какие правильные многогранники могут существовать?

 

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно m, а гранями являются правильные n-угольники.

 

2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В (вершины) и Г (грани) через:

Р (рёбра), m, n, где n и m — целые числа, и m≥3, n= 3, 4 или 5.

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся m рёбер, то 2Р=Вm.

Тогда В=2Рm.

 

4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р.

Тогда Г=2Рn.

 

5. Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В−Р=2, получаем

2Рm+2Рn−Р=2.

 

6. Поделив обе части равенства на 2Р, получим

1m+1n−12=1Р.

 

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении n= 3 и найдём допустимые значения m.

 1m+13−12=1Р; 

 

1m−16=1Р.

По смыслу Р>0, значит, 3≤m≤5.

Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:
1. m=3,n=3,P=6,Г=4 — тетраэдр;
2. m=3,n=4,P=12,Г=6 — куб;

3. m=3,n=5,P=30,Г=12 — додекаэдр;
4. m=4,n=3,P=12,Г=8 — октаэдр;
5. m=5,n=3,P=30,Г=20 — икосаэдр.

 

Доказано существование правильных многогранников:

 

тетраэдр с 4 гранями, 6 рёбрами и 4 вершинами:

 

куб с 6 гранями, 12 рёбрами и 8 вершинами:

  

октаэдр с 8 гранями, 12 рёбрами и 6 вершинами:

  

додекаэдр с 12 гранями, 30 рёбрами и 20 вершинами:

  

икосаэдр с 20 гранями, 30 рёбрами и 12 вершинами: