Блог преподавтеля ГБОУ СПО ЛНР "Комиссаровский колледж-агрофирма" Иванского Валерия Владимировича

21 января 2021 года

Группа 108

Предмет :"Математика"

Тема урока :"Пирамида, ее осно

Пирамида

Пирамида - (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник,
основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие
общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные,
четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой
пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
плоскость основания.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основани

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины^[3];
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то:
- около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
- также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
- в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- высоты боковых граней равны;
- площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра
  - Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
  $V = \frac{1}{3} S h,$
  где $\ S$ — площадь основания и $\ h$ — высота;
  - Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
  $S_b = \sum_{i}^{}S_i$
  - Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
  $\ S_p = S_b + S_o$
  - Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
  $S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha$
  где $a$ — апофема , $\ P$ — периметр основания, $\ n$ — число сторон основания, $\ b$ — боковое ребро, $\alpha$ — плоский угол при вершине пирамиды.
  Особые случаи пирамиды
  Правильная пирамида
  Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
  - боковые ребра правильной пирамиды равны;
  - в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
  - в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
  - если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $\pi$ , а каждый из них соответственно $\frac{\pi}{n}$ , где n — количество сторон многоугольника основания^[6];
  - площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  Прямоугольная пирамида
  Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
  Усечённая пирамида
  Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  основания на высоту боковой грани.