14 декабря 2020 года

Группа 108

Предмет :"Математика"

Тема урока :"Решение нер

 Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Неравенства

• Линейные неравенства

Таблица числовых промежутков
Алгоритм решения линейного неравенства
Примеры решения линейных неравенств

• Квадратные неравенства

Алгоритм решения квадратного неравенства
Примеры решения квадратных неравенств

• Дробно рациональные неравенства

Алгоритм решения дробно рационального неравенства
Примеры решения дробно рациональных неравенств

• Системы неравенств

Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решения систем неравенств

 

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     $=$     поменять на любой из знаков неравенства:

$>$    больше,

$\ge$    больше или равно,

    меньше,

$\le$    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

$$ax<b$$

$$ax\le b$$

$$ax>b$$

$$ax\ge b$$

где $a$ и $b$ – любые числа, причем $a\ne \mathrm{0,}$ $x$ – переменная.

Примеры линейных неравенств:

$$3x<5$$

$$x-2\ge 0$$

$$7-5x<1$$

$$x\le 0$$

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

$$x<c$$

$$x\le c$$

$$x>c$$

$$x\ge c$$

где $c$ – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

• Если знак неравенства строгий $>,<,$ точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий $\ge ,\le ,$ точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
$x<c$		$x\in \left(-\infty ;c\right)$
$x\le c$		$x\in (-\infty ;c]$
$x>c$		$x\in (c;+\infty )$
$x\ge c$		$x\in [c;+\infty )$

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

$$ax<b$$

$$ax\le b$$

$$ax>b$$

$$ax\ge b$$

1. Пусть получилось неравенство вида $ax\le \mathrm{b.}$ Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент $a.$

• Если $a>0$ то неравенство приобретает вид $x\le \frac{b}{a}.$

• Если $a<0,$ то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид $x\ge \frac{b}{a}.$

1.  Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    $3(2-x)>18.$

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$$6-3x>18$$

$$-3x>18-6$$

$$-3x>12|÷(-3)$$

Делим обе части неравенства на ($-3$) – коэффициент, который стоит перед  $x$. Так как    $-3<0,$   знак неравенства поменяется на противоположный.

$$x<\frac{12}{-3}\Rightarrow x<-4$$

Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: $x\in (-\infty ;-4)$

№2. Решить неравество    $6x+4\ge 3(x+1)-14.$

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$$6x+4\ge 3x+3-14$$

$$6x-3x\ge 3-14-4$$

$$3x\ge -15|÷3$$

Делим обе части неравенства на ($3$) – коэффициент, который стоит перед  $x$. Так как $3>\mathrm{0,}$   знак неравенства после деления меняться не будет.

$$x\ge \frac{-15}{3}\Rightarrow x\ge -5$$

Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: $x\in [-5;+\infty )$

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    $6x-1\le 2(3x-\mathrm{0,5}).$

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$$6x-1\le 6x-1$$

$$6x-6x\le -1+1$$

$$0\le 0$$

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная $x$, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. $x\in (-\infty ;+\infty )$
3. $x\in ℝ$

 

 

 

 

№2. Решить неравенство    $x+3(2-3x)>-4(2x-12).$

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

$$x+6-9x>-8x+48$$

$$-8x+8x>48-6$$

$$0>42$$

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: $x\in \varnothing$

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида:

$$a{x}^2+bx+c>0$$

$$a{x}^2+bx+c\ge 0$$

$$a{x}^2+bx+c<0$$

$$a{x}^2+bx+c\le 0$$

где $a,\; b,\; c$ - некоторые числа, причем   $a\ne \mathrm{0,}$ $x$ - переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1.  Решить уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ и найти корни $x_1$ и $x_2.$

1.  Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий $>,<,$ точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий $\ge ,\le ,$ точки будут жирные (заштрихованный).

1.  Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка $A$) и подставить её значение в выражение $a{x}^2+bx+c$ вместо $x$.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства $>$ или $\ge$ в ответ выбираем интервалы со знаком $+.$

Если знак неравенства  или $\le$ в ответ выбираем интервалы со знаком $-.$

1. Записать ответ.

авенств и их систем"