Блог преподавтеля ГБОУ СПО ЛНР "Комиссаровский колледж-агрофирма" Иванского Валерия Владимировича

03 декабря 2020

Группа 108

Предмет :"Математика"

Тема урока :"Решение тригонометрически

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

$sinx\vee a$ ,

$cosx\vee a$ ,

$tgx\vee a$ ,

$ctgx\vee a$ ,

где $\vee$ – один из знаков $<,\;>,\;\leq,\;\geq$ , $a\in R$ .

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: $cosx<\frac{1}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси косинусов $\frac{1}{2}.$

Все значения $cosx$ , меньшие $\frac{1}{2},$ – левее точки $\frac{1}{2}$ на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше $\frac{1}{2}.$

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$ .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку $\frac{\pi}{3},$ вместо второй точки $\frac{5\pi}{3}$ указывают точку $-\frac{\pi}{3}$ , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения $x:$

$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.$

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик $2\pi n,\;n\in Z.$

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.

Решить неравенство: $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси косинусов $-\frac{\sqrt2}{2}.$

Все значения $cosx$ , большие или равные $-\frac{\sqrt2}{2}$ – правее точки $-\frac{\sqrt2}{2}$ , включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы $x$ отвечают тому условию, что $cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}$ .

$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$

Пример 3.

Решить неравенство: $sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.$

Решение:

Отмечаем на оси синусов $-\frac{\sqrt3}{2}.$

Все значения $sinx$ , большие или равные $-\frac{\sqrt3}{2},$ – выше точки $-\frac{\sqrt3}{2}$ , включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z$

Пример 4.

Решить неравенство: $sinx<1.$

Решение:

Кратко:

$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z$

или все $x$ , кроме $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Пример 5.

Решить неравенство: $sinx\geq 1.$

Решение:

Неравенство $sinx\geq 1$ равносильно уравнению $sinx=1$ , так как область значений функции $y=sinx$ – $[-1;1].$

78н

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.$

Пример 6.

Решить неравенство: $sinx<\frac{1}{3}.$

Решение:

Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

$\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n<x<arcsin\frac{1}{3}+2\pi+2\pi n,\;n\in Z$

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{11\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.$