09.11.2020

Группа 108

Предмет:"Математика"

Тема:"Тригонометрические уравнения и приемы и Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла  sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно  нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = +  к, к  Z               или                                sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к  | sin|  1
x =   +   к;      к   Z.
Ответ: x =   +   к ,      к  Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой  sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0.     Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

                        

                  

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит 

Ответ: 

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием  произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой 

 

         

Ответ: 

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos2x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin2x ) = 0,
2 sin2x + 3 sin x  – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

. Таким образом .  не удовлетворяет условию | t |.  

Значит  sin x = . Поэтому .

Ответ: 

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а)        (квадратное уравнение)
2. № 168 (а)                      (разложение на множители)
3. № 174 (а)                      (преобразование суммы в произведение)
4.    (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока  показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t2 + t – 1 = 0,  t = – 1, t= . Откуда    

Ответ:  –.

№ 167 (а)

3 tg2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1,  тогда получим уравнение 3 t2 +  2 t – 1 = 0.

        

Ответ: 

№ 168 (а )

Ответ:  

№ 174 (а )

Ответ: 

Решить уравнение: 

      

Ответ: 

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида  a sin x + b cos x = 0, где  a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно  sin x или  cos x.

Рассмотрим уравнение

sin x –  cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству  sin2 x +  cos2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

tg x = 1,

Ответ: 

Уравнения вида a sin2 x + bcos2x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или  cos x.

Рассмотрим уравнение

sin2x – 3 sin x cos x + 2 cos2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к.  cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

    тогда   Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + ,  x = 

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin2x – 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin2x +  cos2x). Тогда получим:
3sin2x – 3sin x cos x + 4cos2 x = 2 · (sin2x +  cos2 x),
3sin2x – 3sin x cos x + 4cos2x – 2sin2x – 2  cos2x = 0,
sin2x – 3sin x cos x + 2cos2x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ.  Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение  sin x +  cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:  

Учитывая, что  и, получим:

Ответ:   

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол  такой, что 

Тогда 

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим 

0,6 sin x  + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол  такой, что , т.е.      = arcsin 0,6.  Далее получим  

Ответ: – arcsin 0,8 +  + 

8 способ. Уравнения вида Р 

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t2.

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t =  sinx + cosx, тогда  t2 = sin2x + 2sin x cos x + cos2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t2 – 1) – 1 = 0.
2 t2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим  = 1,  =.

sinx + cosx = 1                                       или                                 sinx + cosx = 

                                                               

Корней нет.

Ответ: 

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение: 

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos2x.

1 – cos x = 1 – cos2x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

             

Условию  удовлетворяют только решения

Ответ: 

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х  sin x   1, то данное уравнение равносильно системе:                            

Решение системы  

Ответ: 

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание:  № 164 -170 (в, г).

х решения"